CALCULO DEL AREA ENTRE 2 CURVAS

Introducción

Recordemos que el desarrollo del Cálculo Integral se originó en parte para calcular el área bajo una curva.

El cálculo de áreas entre una curva dada por y=f(x) y el eje x en el intervalo [a,b] nos llevó a definir una sumatoria de Riemann y el área entre la curva y el eje horizontal se calculó tomando el límite de la suma de Riemann cuando n--->. Todo esto fue para f(x)>0 en [a,b].

Utilizaremos el mismo procedimiento que se usó para encontrar el área bajo una curva. Se aproximará el área entre las dos curvas haciendo una partición del intervalo [a,b] en n subintervalos de longitud (b-a)/n. En cada subintervalo escogemos un valor particular de x, al que llamaremos x*.  

1. Evaluamos f(x*) y g(x*) y formamos rectángulos de base (b-a)/n y de altura f(x*)-g(x*) (si f(x*)>g(x*)).
 
2. El área de dicho rectángulo es (f(x*)-g(x*))((b-a)/n). Al sumar las áreas de los rectángulos obtenemos una aproximación al valor del área entre las curvas.
 
3. Tomando el límite cuando n--->Infinito obtendremos el valor exacto del área buscada.
 
4. Por definición, el límite de la sumatoria de Riemann es la integral definida de f(x)-g(x) en [a,b].
 
5. Si g(x)>f(x) en alguna parte del intervalo, entonces la altura de los rectángulos es g(x*)-f(x*).

 En cualquier caso la altura de los rectángulos es |f-g| (valor absoluto de la diferencia)

Definición de área entre dos gráficas:

El área entre las gráficas de y=f(x) , y=g(x) en el intervalo [a,b] está dado por el valor de la Integral Definida de |f-g| en [a,b].

Enseguida se calculará el área de la región entre dos curvas.

Otros métodos: Rectángulos horizontales.

El procedimiento anterior depende de que, en cada intervalo de integración, la curva "de arriba" es la misma y la curva "de abajo" también. A continuación se muestra una situación en donde esto no se cumple. Observa las siguientes gráficas.

 Observa que en el intervalo [-1,3] no se cumple que la curva "de arriba" sea la misma. En [-1,2] la curva de arriba es y=x-1 , mientras que en [2,3] la curva de arriba es y=(3-x)^1/2.

En la gráfica anterior dibujamos un rectángulo horizontal de base X₂ - X₁ y de altura y.

X₂

es elvalor de x dado por la curva de la derecha (x=3-y²) y X₁ es el valor de x dado por la curva de la izquierda (x=y+1). En esta situación la curva de la derecha siempre es la misma y la curva de la izquierda también es la misma para todos los rectángulos horizontales desde y=-2 hasta y=1.

		y=1
Entonces el área entre las curvas es igual a			[3 - y2 - (y+1)] dy
		y=-2

 Si integramos con respecto a "y" la diferencia (3-y²) - (y+1) entre y=-2 hasta y=1, entonces encontramos que:

9
Area entre las curvas =
	2

Bibliografía: http://centros5.pntic.mec.es/ies.de.melilla/area_entre_dosC.htm